問題詳情:
如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.
(1)觀察猜想:
圖1中,線段PM與PN的數量關係是 ,位置關係是 ;
(2)探究*:
把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,並説明理由;
(3)拓展延伸:
把△ADE繞點A在平面內自由旋轉,若AD=4,AB=10,請直接寫出△PMN面積的最大值.
【回答】
解:(1)∵點P,N是BC,CD的中點,
∴PN∥BD,PN=BD,
∵點P,M是CD,DE的中點,
∴PM∥CE,PM=CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故*為:PM=PN,PM⊥PN;
(2)△PMN是等腰直角三角形.
由旋轉知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
利用三角形的中位線得,PN=BD,PM=CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形;
(3)方法1:如圖2,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大時,△PMN的面積最大,
∴DE∥BC且DE在頂點A上面,
∴MN最大=AM+AN,
連接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5,
∴MN最大=2+5=7,
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×(7)2=.
方法2:由(2)知,△PMN是等腰直角三角形,PM=PN=BD,
∴PM最大時,△PMN面積最大,
∴點D在BA的延長線上,
∴BD=AB+AD=14,
∴PM=7,
∴S△PMN最大=PM2=×72=.
【點評】此題屬於幾何變換綜合題,主要考查了三角形的中位線定理,等腰直角三角形的判定和*質,全等三角形的判斷和*質,直角三角形的*質的綜合運用;解(1)的關鍵是判斷出PM=CE,PN=BD,解(2)的關鍵是判斷出△ABD≌△ACE,解(3)的關鍵是判斷出MN最大時,△PMN的面積最大.
知識點:平行四邊形
題型:解答題