問題詳情:
已知數列的前項和為,把滿足條件的所有數列構成的*
記為.
(1)若數列通項公式為,求*:;
(2)若數列是等差數列,且,求的取值範圍;
(3)設,數列的各項均為正數,且.問數列中是否存在
無窮多項依次成等差數列?若存在,給出一個數列的通項;若不存在,説明理由.
【回答】
解:(1)因為,所以, …… 2分
所以,
所以,即. …… 4分
(2)設的公差為,
因為,所以(*),
特別的當時,,即, …… 6分
由(*)得,
整理得,
因為上述不等式對一切恆成立,所以必有,解得,
又,所以, …… 8分
於是,即,
所以,即,
所以,
因此的取值範圍是. …… 10分
(3)由得,所以,即,
所以,從而有,
又,所以,即,
又,,
所以有,所以, …… 12分
假設數列(其中)中存在無窮多項依次成等差數列,
不妨設該等差數列的第項為(為常數),
則存在,,使得,
即, …… 14分
設,
則,即,
於是當時,,
從而有:當時,即,
於是當時,關於的不等式有無窮多個解,顯然不成立,
因此數列中是不存在無窮多項依次成等差數列. …… 16分
知識點:數列
題型:解答題