如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，E是線段D1O的上一點．（1）若E為D1...

問題詳情：

如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，E是線段D1O的上一點．

（1）若E為D1O的中點，求直線OD1與平面CDE所成角的正弦值；

（2）能否存在點E使得平面CDE上平面CD1O，若能，請指出點E的位置關係，並加以*；若不能，請説明理由．

【回答】

解：不妨設正方體的稜長為2，以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角座標系D－xyz，

則D（0，0，0），D1（0，0，2），C（0，2，0），O（1，1，0）．

（1）因為點E是D1O的中點，

所以點E的座標為．

所以，，．

設是平面CDE的法向量，則

即，

取x＝2，則z＝－1，所以平面CDE的一個法向量為．

所以．

所以直線OD1與平面CDE所成角的正弦值為．

（2）假設存在點E使得平面CDE⊥平面CD1O，設．

顯然，．

設是平面CD1O的方向量，則，即．

取x＝1，則y＝1，z＝1，所以平面CD1O的一個法向量為．

因為，所以點E的座標為．

所以，．

設是平面CDE的法向量，則即．

取x＝1，則，所以平面CDE的一個法向量為．

因為平面CDE⊥平面CD1O，所以，即，，解得λ＝2．

所以λ的值為2．即當時，平面CDE⊥平面CD1O．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題