如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在稜AA1上，BE⊥EC1.（1）*：BE...

問題詳情：

如圖，長方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點E在稜AA1上，BE⊥EC1.

（1）*：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B–EC–C1的正弦值.

【回答】

（1）*見解析；（2）

【分析】

（1）利用長方體的*質，可以知道側面，利用線面垂直的*質可以*出，這樣可以利用線面垂直的判定定理，*出平面；

（2）以點座標原點，以分別為軸，建立空間直角座標系，設正方形的邊長為，，求出相應點的座標，利用，可以求出之間的關係，分別求出平面、平面的法向量，利用空間向量的數量積公式求出二面角的餘弦值的絕對值，最後利用同角的三角函數關係，求出二面角的正弦值.

【詳解】

*（1）因為是長方體，所以側面，而平面，所以

又，，平面，因此平面；

（2）以點座標原點，以分別為軸，建立如下圖所示的空間直角座標系，

，

因為，所以，

所以，，

設是平面的法向量，

所以，

設是平面的法向量，

所以，

二面角的餘弦值的絕對值為，

所以二面角的正弦值為.

【點睛】

本題考查了利用線面垂直的*質定理*線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的餘弦值，以及同角的三角函數關係，考查了數學運算能力.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題