問題詳情:
如圖,菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,P是AB上一點,BP=3,Q是CD邊上一動點,將梯形APQD沿直線PQ摺疊,A的對應點A′.當CA′的長度最小時,CQ的長為( )
A.5 B.7 C.8 D.
【回答】
B【考點】L8:菱形的*質;PB:翻折變換(摺疊問題).
【分析】作CH⊥AB於H,如圖,根據菱形的*質可判斷△ABC為等邊三角形,則CH=AB=4,AH=BH=4,再利用勾股定理計算出CP=7,再根據摺疊的*質得點A′在以P點為圓心,PA為半徑的弧上,利用點與圓的位置關係得到當點A′在PC上時,CA′的值最小,然後*CQ=CP即可.
【解答】解:作CH⊥AB於H,如圖,
∵菱形ABCD的邊AB=8,∠B=60°,
∴△ABC為等邊三角形,
∴CH=AB=4,AH=BH=4,
∵PB=3,
∴HP=1,
在Rt△CHP中,CP==7,
∵梯形APQD沿直線PQ摺疊,A的對應點A′,
∴點A′在以P點為圓心,PA為半徑的弧上,
∴當點A′在PC上時,CA′的值最小,
∴∠APQ=∠CPQ,
而CD∥AB,
∴∠APQ=∠CQP,
∴∠CQP=∠CPQ,
∴CQ=CP=7.
故選B.
【點評】本題考查了菱形的*質:菱形具有平行四邊形的一切*質;菱形的四條邊都相等;菱形的兩條對角線互相垂直,並且每一條對角線平分一組對角.也考查了摺疊的*質.解決本題的關鍵是確定A′在PC上時CA′的長度最小.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:選擇題