（1）問題如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求*：AD•BC=AP•...

問題詳情：

（1）問題

如圖1，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，∠DPC=∠A=∠B=90°，求*：AD•BC=AP•BP．

（2）探究

如圖2，在四邊形ABCD中，點P為AB上一點，當∠DPC=∠A=∠B=θ時，上述結論是否依然成立？説明理由．

（3）應用

請利用（1）（2）獲得的經驗解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點P以每秒1個單位長度的速度，由點A出了，沿邊AB向點B運動，且滿足∠DPC=∠A，設點P的運動時間為t（秒），當以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時，求t的值．

【回答】

【考點】相似形綜合題；切線的*質．

【專題】壓軸題；探究型．

【分析】（1）如圖1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可*到△ADP∽△BPC，然後運用相似三角形的*質即可解決問題；

（2）如圖2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可*到△ADP∽△BPC，然後運用相似三角形的*質即可解決問題；

（3）如圖3，過點D作DE⊥AB於點E，根據等腰三角形的*質可得AE=BE=3，根據勾股定理可得DE=4，由題可得DC=DE=4，則有BC=5﹣4=1．易*∠DPC=∠A=∠B．根據AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．

【解答】解：（1）如圖1，

∵∠DPC=∠A=∠B=90°，

∴∠ADP+∠APD=90°，

∠BPC+∠APD=90°，

∴∠ADP=∠BPC，

∴△ADP∽△BPC，

∴=，

∴AD•BC=AP•BP；

（2）結論AD•BC=AP•BP仍然成立．

理由：如圖2，

∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，

∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，

∴∠BPC=∠ADP，

∴△ADP∽△BPC，

∴=，

∴AD•BC=AP•BP；

（3）如圖3，

過點D作DE⊥AB於點E．

∵AD=BD=5，AB=6，

∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以點D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，

∴DC=DE=4，

∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，

∴∠A=∠B，

∴∠DPC=∠A=∠B．

由（1）、（2）的經驗可知AD•BC=AP•BP，

∴5×1=t（6﹣t），

解得：t1=1，t2=5，

∴t的值為1秒或5秒．

【點評】本題是對K型相似模型的探究和應用，考查了相似三角形的判定與*質、切線的*質、等腰三角形的*質、勾股定理、等角的餘角相等、三角形外角的*質、解一元二次方程等知識，以及運用已有經驗解決問題的能力，滲透了特殊到一般的思想．

知識點：相似三角形

題型：解答題