問題詳情:
設二次函數f(x)滿足f(x-2)=f(-x-2),且圖象與y軸交點的縱座標為1,被x軸截得的線段長為2,求f(x)的解析式.
【回答】
解:法一 設f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0; ①
又因為|x1-x2|==2,
所以b2-4ac=8a2; ②
又由已知得c=1. ③
由①②③解得b=2,a=,c=1,
所以f(x)=x2+2x+1.
法二 因為f(x-2)=f(-x-2),
故y=f(x)的圖象有對稱軸x=-2,可設y=a(x+2)2+k,
當x=0時,y=4a+k=1.
y=0時,a(x+2)2+k=0,即ax2+4ax+4a+k=0.
得ax2+4ax+1=0,x1+x2=-4,x1·x2=,
|x1-x2|===2.
a=,k=-1.
所以f(x)=(x+2)2-1,即f(x)=x2+2x+1.
法三 因為y=f(x)的圖象有對稱軸x=-2,
又|x1-x2|=2,
所以y=f(x)的圖象與x軸的交點為(-2-,0),(-2+,0).故可設f(x)=a(x+2+)(x+2-).
因為f(0)=1,所以a=.
所以f(x)=[(x+2)2-2]=x2+2x+1.
知識點:*與函數的概念
題型:解答題