設f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)的圖象關於直線x＝－對稱，且f′(...

問題詳情：

設f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的導數為f′(x)，若函數y＝f′(x)的圖象關於直線x＝－對稱，

且f′(1)＝0。

(1)求實數a，b的值；

(2)求函數f(x)的極值。

【回答】

得b＝－12。------------------------------6分

(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，

所以f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1)(x＋2)，

令f′(x)＝0，

即6(x－1)(x＋2)＝0，

解得x＝－2或x＝1，

當x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，

即f(x)在(－∞，－2)上單調遞增；

當x∈(－2,1)時，f′(x)<0，

即f(x)在(－2,1)上單調遞減；

當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，

即f(x)在(1，＋∞)上單調遞增。

從而函數f(x)在x＝－2處取得極大值f(－2)＝21，

在x＝1處取得極小值f(1)＝－6。-----------------12分

知識點：導數及其應用

題型：解答題