問題詳情:
已知二次函數的解析式為y=-x2+4x,該二次函數交x軸於O、B兩點,A為拋物線上一點,且橫縱座標相等(原點除外),P為二次函數上一動點,過P作x軸垂線,垂足為D(a,0)(a>0),並與直線OA交於點C.
(1)求A、B兩點的座標;
(2)當點P在線段OA上方時,過P作x軸的平行線與線段OA相交於點E,求△PCE周長的最大值及此時P點的座標;
(3)當PC=CO時,求P點座標.
【回答】
解:(1)令y=0,則-x2+4x=0,
解得x1=0,x2=4.
∴點B座標為(4,0),
設點A座標為(x,x),把A(x,x)代入y=-x2+4x得,
x=-x2+4x,
解得x1=3,x2=0(捨去),
∴點A的座標為(3,3);
(2)如解圖①,設點P的座標為(x,-x2+4x),
第3題解圖①
∵點A座標為(3,3);
∴∠AOB=45°,
∴OD=CD=x,
∴PC=PD-CD=-x2+4x-x=-x2+3x,
∵PE∥x軸,
∴△PCE是等腰直角三角形,
∴當PC取最大值時,△PCE周長最大.
∵PE與線段OA相交,
∴0≤x≤1,
由PC=-x2+3x=-(x-)2+可知,拋物線的對稱軸為直線x=,且在對稱軸左側PC隨x的增大而增大,
∴當x=1時,PC最大,PC的最大值為-1+3=2,
∴PE=2,CE=2,
∴△PCE的周長為CP+PE+CE=4+2,
∴△PCE周長的最大值為4+2,
把x=1代入y=-x2+4x,得y=-1+4=3,
∴點P的座標為(1,3);
(3)設點P座標為(x,-x2+4x),則點C座標為(x,x),如解圖②,
第3題解圖②
①當點P在點C上方時,P1C1=-x2+4x-x=-x2+3x,OC1=x,
∵P1C1=OC1,
∴-x2+3x=x,
解得x1=3-,x2=0(捨去).
把x=3-代入y=-x2+4x得,
y=-(3-)2+4(3-)=1+2,
∴P1(3-,1+2),
②當點P在點C下方時,P2C2=x-(-x2+4x)=x2-3x,OC2=x,
∵P2C2=OC2,
∴x2-3x=x,
解得x1=3+,x2=0(捨去),
把x=3+代入y=-x2+4x,
得y=-(3+)2+4(3+)=1-2,
∴P2(3+,1-2).
綜上所述,P點座標為(3-,1+2)或(3+,1-2).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題