問題詳情:
在平面直角座標系中,O為座標原點,過二次函數y=﹣x2+4x圖象上的點A(3,3)作x軸的垂線交x軸於點B.
(1)如圖1,P為線段OA上方拋物線上的一點,在x軸上取點C(1,0),點M、N為y軸上的兩個動點,點M在點N的上方且MN=1.連接AC,當四邊形PACO的面積最大時,求PM+MNNO的最小值.
(2)如圖2,點Q(3,1)在線段AB上,作*線CQ,將△AQC沿直線AB翻折,C點的對應點為C',將△AQC'沿*線CQ平移3個單位得△A'Q'C″,在*線CQ上取一點M,使得以A'、M、C″為頂點的三角形是等腰三角形,求M點的座標.
【回答】
【解析】(1)如圖1,過點O作直線l,使直線l經過第二、四象限且與x軸夾角為60°;
過點P作PF⊥x軸於點E,交OA於點D,交直線l於點F;在PF上截取PP'=1;過點N作NG⊥直線l於點G
∵A(3,3),AB⊥x軸於點B,∴直線OA解析式為y=x,OB=AB=3,
∵C(1,0),∴,是定值,
設P(t,﹣t2+4t)(0<t<3),
∴D(t,t),
∴PD=﹣t2+4t﹣t=﹣t2+3t,
∴
∴時,S△OAP最大,
此時,S四邊形PACO=S△AOC+S△OAP最大,
,∴,
∴,即,
∵點M、N在y軸上且MN=1,∴PP'=MN,PP'∥MN,
∴四邊形MNP'P是平行四邊形,∴PM=P'N,
∵∠NGO=90°,∠NOG=90°﹣60°=30°,
∴Rt△ONG中,,∴,
∴當點P'、N、G在同一直線上,即P'G⊥直線l時,最小,
∵,∠EOF=60°,∠OEF=90°,
∴Rt△OEF中,∠OFE=30°,,
∴,∴,
∴Rt△P'GF中,,
∴,
∴PM+MNNO的最小值為.
(2)延長A'Q'交x軸於點H,
∵C(1,0),Q(3,1),QB⊥x軸於點B,
∴CB=2,BQ=1,∴CQ,
∵△AQC沿直線AB翻折得△AQC',∴B(3,0)是CC'的中點,∴C'(5,0),
∵平移距離QQ'=3,∴CQ'=CQ+QQ'=4,
∵QB∥Q'H,∴△CBQ∽△CHQ',
∴,∴CH=4CB=8,yQ'=HQ'=4BQ=4,
∴xQ'=OC+CH=1+8=9,∴Q'(9,4),
∴點Q(3,1)向右平移6個單位,向上平移3個單位得到點Q'(9,4)
∴A'(9,6),C''(11,3),
∴A'C'',
設直線CQ解析式為y=kx+b,
∴,解得:,∴直線CQ:,
設*線CQ上的點M(m,)(m>1),
∴A'M2=(9﹣m)2+()2=(9﹣m)2+(m)2,
C''M2=(11﹣m)2+()2=(11﹣m)2+(m)2,
∵△A'MC''是等腰三角形,
①若A'M=A'C'',則(9﹣m)2+(m)2=13,解得:m1=7,m2,
∴M(7,3)或(,),
②若C''M=A'C'',則(11﹣m)2+(m)2=13,解得:m1,m2=13,
∴M(,)或(13,6),
③若A'M=C''M,則(9﹣m)2+(m)2=(11﹣m)2+(m)2,解得:m=10,
∴M(10,),
綜上所述,點M座標為(7,3),(,),(,),(13,6),(10,).
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題