問題詳情:
如圖,二次函數y=﹣x2+x+3的圖象與x軸交於點A、B,與y軸交於點C,點D在該拋物線上,且點D的橫座標為2,連接BC、BD,設∠OCB=α,∠DBC=β,則cos(α﹣β)的值是( )
A. B. C. D.
【回答】
D【考點】拋物線與x軸的交點.
【分析】延長BD交y軸於P,根據三角形的外角的*質得到∠OPB=α﹣β,解方程﹣x2+x+3=0,求出點A的座標和點B的座標,根據二次函數圖象上點的座標特徵求出點D的座標,運用待定係數法求出直線BD的解析式,求出OP的長,根據勾股定理求出PB的長,根據餘弦的概念解答即可.
【解答】解:延長BD交y軸於P,
∵∠OCB=α,∠DBC=β,
∴∠OPB=α﹣β,
﹣x2+x+3=0,
解得,x1=﹣1.2,x2=4,
∴點A的座標為(﹣1.2,0),點B的座標為(4,0),
x=0時,y=3,
∴點C的座標為(0,3),
∵點D在該拋物線上,且點D的橫座標為2,
∴點D的縱座標為4,
∴點D的座標為(2,4),
設直線BD的解析式為:y=kx+b,
則,
解得,,
∴直線BD的解析式為:y=﹣2x+8,
∴OP=8,
PB==4,
∴cos(α﹣β)=cos∠OPB==,
故選:D.
【點評】本題考查的是拋物線與x軸的交點的求法,正確運用一元二次方程的解法求出拋物線與x軸的交點是解題的關鍵,解答時,注意三角形的外角的*質的應用.
知識點:二次函數的圖象和*質
題型:選擇題