問題詳情:
背景:一次小組合作探究課上,小明將兩個正方形按背景圖位置擺放(點E,A,D在同一條直線上),發現BE=DG且BE⊥DG.小組討論後,提出了三個問題,請你幫助解答:
(1)將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉,(如圖1)還能得到BE=DG嗎?如果能,請給出*.如若不能,請説明理由:
(2)把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD,將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉,(如圖2)試問當∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關係時,背景中的結論BE=DG仍成立?請説明理由;
(3)把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD,且,AE=4,AB=8,將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(如圖3),連接DE,BG.小組發現:在旋轉過程中, BG2+DE2是定值,請求出這個定值.
【回答】
(1)見解析;(2)當∠EAG=∠BAD時,BE=DG成立;理由見解析;(3).
【解析】
(1)根據四邊形ABCD和AEFG是正方形的*質*△EAB≌△GAD即可;
(2)根據菱形AEFG和菱形ABCD的*質以及角的和差*△EAB≌△GAD即可説明當∠EAG=∠BAD時,BE=DG成立;
(3)如圖:連接EB,BD,設BE和GD相交於點H,先根據四邊形AEFG和ABCD為矩形的*質説明△EAB∽△GAD,再根據相似的*質得到,最後運用勾股定理解答即可.
【詳解】
(1)*:∵四邊形ABCD為正方形
∴AB=AD,
∵四邊形AEFG為正方形
∴AE=AG,
∴
在△EAB和△GAD中有:
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG;
(2)當∠EAG=∠BAD時,BE=DG成立。
*:∵四邊形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四邊形AEFG為正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有:
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG;
(3)連接EB,BD,設BE和GD相交於點H
∵四邊形AEFG和ABCD為矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
,
∴.
【點睛】
本題屬於四邊形綜合題,主要考查了正方形的*質、菱形的*質、勾股定理、全等三角形的判定與*質、相似三角形的判定與*質等知識點,靈活運用所學知識是解答本題的關鍵.
知識點:相似三角形
題型:綜合題