已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P、G  不與正方形頂點重合，且在CD的同側...

問題詳情：

已知，四邊形ABCD是正方形，點P在直線BC上，點G在直線AD上（P、G

   不與正方形頂點重合，且在CD的同側），PD=PG，DF⊥PG於點H，交直線AB於點F，

    將線段PG繞點P逆時針旋轉90°得到線段PE，連結EF.

(1)如圖1，當點P與點G分別在線段BC與線段AD上時.

①求*：DG=2PC；

②求*：四邊形PEFD是菱形；

(2)如圖2，當點P與點G分別在線段BC與線段AD的延長線上時，請猜想四邊形PEFD

   是怎樣的特殊四邊形，並*你的猜想.

第25題圖1                    第25題圖2         

【回答】

1）①*：如圖1作PM⊥AD於點M

∵PD=PG，∴MG=MD，又∵MD=PC∴DG=2PC                    

 ②*：∵PG⊥FD於H ∴∠DGH+∠ADF= 90°                                     

      又∵∠ADF+∠AFD= 90°∴∠DGP=∠AFD       

     ∵四邊形ABCD是正方形，PM⊥AD於點M，                第25題 圖1

     ∴∠A=∠PMD= 90°，PM=AD，

    ∴△PMG≌△DAF      ∴DF=PG∵PG=PE∴FD=PE，      

∵DF⊥PG，PE⊥PG∴DF∥PE 

∴四邊形PEFD是平行四邊形.  

又∵PE=PD∴□PEFD是菱形              

（2）四邊形PEFD是菱形      

*：如圖②

∵四邊形ABCD是正方形，DH⊥PG於H                     第25題圖2

∴∠ADC=∠DHG=90°∴∠CDG=∠DHG=90°∴∠CDP+∠PDG=90°，∠GDH+∠G=90°

∵PD=PG       ∴∠PDG=∠G  ∴∠CDP=∠GDH       ∴∠CDP=∠ADF              

又∵AD=DC，∠FAD=∠PCD=90°   ∴△PCD≌△FAD       ∴FD=PD

       ∵ PD=PG=PE    ∴FD=PE 又∵FD⊥PG，PE⊥PG     ∴FD∥PE  

∴四邊形PEFD是平行四邊形.    又∵FD=PD    ∴□PEFD是菱形            

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題