問題詳情:
(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點,F是AD延長線上一點,且DF=BE.求*:CE=CF;
(2)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點,G是AD上一點,如果∠GCE=45°,請你利用(1)的結論*:GE=BE+GD.
(3)運用(1)(2)解答中所積累的經驗和知識,完成下題:
如圖3,在直角梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),∠B=90°,AB=BC,E是AB上一點,且∠DCE=45°,BE=4,DE=10,求直角梯形ABCD的面積.
【回答】
(1)*:∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠B=∠CDF=90°,
∵∠ADC=90°,
∴∠FDC=90°.
∴∠B=∠FDC,
∵BE=DF,
∴△CBE≌△CDF(SAS).
∴CE=CF.
(2)*:如圖2,延長AD至F,使DF=BE,連接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,
即∠ECF=∠BCD=90°,
又∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG.
∴GE=GF,
∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)解:如圖3,過C作CG⊥AD,交AD延長線於G.
在直角梯形ABCD中,
∵AD∥BC,
∴∠A=∠B=90°,[來源:學.科.網Z.X.X.K]
又∵∠CGA=90°,AB=BC,
∴四邊形ABCG為正方形.
∴AG=BC.…(7分)
∵∠DCE=45°,
根據(1)(2)可知,ED=BE+DG.…(8分)
∴10=4+DG,
即DG=6.
設AB=x,則AE=x﹣4,AD=x﹣6,
在Rt△AED中,
∵DE2=AD2+AE2,即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.
解這個方程,得:x=12或x=﹣2(捨去).…(9分)
∴AB=12.
∴S梯形ABCD=(AD+BC)•AB=×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面積為108.…(10分)
知識點:特殊的平行四邊形
題型:解答題