如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動點（不與A，B重合），作*線DE並繞點D逆時針旋轉45°，交直線B...

問題詳情：

如圖，在正方形ABCD中，E為直線AB上的動點（不與A，B重合），作*線DE並繞點D逆時針旋轉45°，交直線BC邊於點F，連結EF．

探究：當點E在邊AB上，求*：EF=AE+CF．

應用：（1）當點E在邊AB上，且AD=2時，則△BEF的周長是　　．

（2）當點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數量關係是　　．

【回答】

【考點】四邊形綜合題．

【分析】探究：作輔助線，構建全等三角形，*△DAG≌△DCF（SAS），得∠1=∠3，DG=DF，再*△GDE≌△FDE（SAS），根據EG的長可得結論；

應用：

（1）利用探究的結論計算三角形周長為4；

（2）分兩種情況：①點E在BA的延長線上時，如圖2，EF=CF﹣AE，②當點E在AB的延長線上時，如圖3，

EF=AE﹣CF，兩種情況都是作輔助線，構建全等三角形，*兩三角形全等得線段相等，根據線段的和與差得出結論．

【解答】探究：*：如圖，延長BA到G，使AG=CF，連接DG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴DA=DC，∠DAG=∠DCF=90°，

∴△DAG≌△DCF（SAS），

∴∠1=∠3，DG=DF，

∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，

∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°=∠EDF，

∵DE=DE，

∴△GDE≌△FDE（SAS），

∴EF=EG=AE+AG=AE+CF；

應用：

解：（1）△BEF的周長=BE+BF+EF，

由探究得：EF=AE+CF，

∴△BEF的周長=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，

故*為：4；

（2）當點E不在邊AB上時，分兩種情況：

①點E在BA的延長線上時，如圖2，

EF=CF﹣AE，理由是：

在CB上取CG=AE，連接DG，

∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC，

∴△DAE≌△DCG（SAS）

∴DE=DG，∠EDA=∠GDC

∵∠ADC=90°，

∴∠EDG=90°

∴∠EDF+∠FDG=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDG=90°﹣45°=45°，

∴∠EDF=∠FDG=45°，

在△EDF和△GDF中，

∵，

∴△EDF≌△GDF（SAS），

∴EF=FG，

∴EF=CF﹣CG=CF﹣AE；

②當點E在AB的延長線上時，如圖3，

EF=AE﹣CF，理由是：

把△DAE繞點D逆時針旋轉90°至△DCG，可使AD與DC重合，連接DG，

由旋轉得：DE=DG，∠EDG=90°，AE=CG，

∵∠EDF=45°，

∴∠GDF=90°﹣45°=45°，

∴∠EDF=∠GDF，

∵DF=DF，

∴△EDF≌△GDF，

∴EF=GF，

∴EF=CG﹣CF=AE﹣CF；

綜上所述，當點E不在邊AB上時，EF，AE，CF三者的數量關係是：EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF；

故*為：EF=CF﹣AE或EF=AE﹣CF．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：綜合題