問題詳情:
已知二次函數y=2x2+bx﹣1.
(1)求*:無論b取什麼值,二次函數y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個交點.
(2)若兩點P(﹣3,m)和Q(1,m)在該函數圖象上.
①求b、m的值;
②將二次函數圖象向上平移多少單位長度後,得到的函數圖象與x軸只有一個公共點?
【回答】
【考點】拋物線與x軸的交點;二次函數圖象與幾何變換.
【分析】(1)先計算判別式的值,再利用非負數的*質可判斷△=>0,然後根據判別式的意義可判斷拋物線與x軸必有兩個交點;
(2)①先利用拋物線的對稱*可確定拋物線的對稱軸方程,從而可求出b的值,然後計算自變量為1所對應的函數值即可得到m的值;
②設平移後拋物線的關係式為y=2x2+4x﹣1+k,根據判別式的意義△=0得到關於k的方程,然後解方程求出k的值即可判斷拋物線平移的距離.
【解答】(1)*:∵△=b2﹣4×2×(﹣1)=b2+8>0,
∴無論b取何值時,二次函數y=2x2+b x﹣1圖象與x軸必有兩個交點;
(2)解:①∵點P、Q是二次函數y=2x2+bx﹣1圖象上的兩點,且兩點縱座標都為m
∴點P、Q關於拋物線對稱軸對稱,
∴拋物線對稱軸是直線x=﹣1,
∴﹣=﹣1,解得b=4,
∴拋物線解析式為y=2x2+4x﹣1,
當x=1時,m=2×12+4×1﹣1=5;
②設平移後拋物線的關係式為y=2x2+4x﹣1+k,
∵平移後的圖象與x軸僅有一個交點,
∴△=16+8﹣8 k=0,解得k=3,
即將二次函數圖象向上平移3個單位時,函數圖象與x軸僅有一個公共點.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題