如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交於兩點（點在點的左邊），點的橫座標是．（1）求點座標及的值；（2）如圖1，...

問題詳情：

如圖，已知拋物線：的頂點為，與軸相交於兩點（點在點的左邊），點的橫座標是．

（1）求點座標及的值；

（2）如圖1，拋物線與拋物線關於軸對稱，將拋物線向左平移，平移後的拋物線記為，的頂點為，當點關於點成中心對稱時，求的解析式；

（3）如圖2，點是軸負半軸上一動點，將拋物線繞點旋轉後得到拋物線．拋物線的頂點為，與x軸相交於E、F兩點（點E在點F的左邊），當以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形時，求頂點的座標．

【回答】

解：（1）由拋物線C1：得頂點P的座標為（2，5）………….1分

∵點A（－1，0）在拋物線C1上∴.………………2分

（2）連接PM，作PH⊥x軸於H，作MG⊥x軸於G..

∵點P、M關於點A成中心對稱,

∴PM過點A，且PA＝MA..

∴△PAH≌△MAG..

∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.

∴頂點M的座標為（，5）.………………………3分

∵拋物線C2與C1關於x軸對稱，拋物線C3由C2平移得到

∴拋物線C3的表達式.  …………4分

（3）∵拋物線C4由C1繞x軸上的點Q旋轉180°得到

∴頂點N、P關於點Q成中心對稱.

 由（2）得點N的縱座標為5.

設點N座標為（m，5），作PH⊥x軸於H，作NG⊥x軸於G，作PR⊥NG於R.

∵旋轉中心Q在x軸上,

∴EF＝AB＝2AH＝6.

 ∴EG＝3，點E座標為（，0），H座標為（2，0），

R座標為（m，－5）.

根據勾股定理，得

①當∠PNE＝90º時，PN2+ NE2＝PE2，

解得m＝，∴N點座標為（，5）

②當∠PEN＝90º時，PE2+ NE2＝PN2，

解得m＝，∴N點座標為（，5）.

③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90º  ………7分

綜上所得，當N點座標為（，5）或（，5）時，以點P、N、E為頂點的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分

知識點：各地中考

題型：綜合題