如圖所示，在平面直角座標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸於A點，交x軸於B，C兩點（點B在點C的左側），...

問題詳情：

如圖所示，在平面直角座標系中，頂點為（4，﹣1）的拋物線交y軸於A點，交x軸於B，C兩點（點B在點C的左側），已知A點座標為（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）過點B作線段AB的垂線交拋物線於點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸與⊙C有怎樣的位置關係，並給出*．

【回答】

（1）；（2）相交，*見解析

【解析】

【分析】

（1）已知拋物線的頂點座標，可用頂點式設拋物線的解析式，然後將A點座標代入其中，即可求出此二次函數的解析式；

（2）根據拋物線的解析式，易求得對稱軸l的解析式及B、C的座標，分別求出直線AB、BD、CE的解析式，再求出CE的長，與到拋物線的對稱軸的距離相比較即可．

【詳解】

解：（1）設拋物線為y＝a（x﹣4）2﹣1，

∵拋物線經過點，

∴3＝a（0﹣4）2﹣1，

a＝；

∴拋物線的表達式為：；

（2）相交．

*：連接CE，則CE⊥BD，（x﹣4）2﹣1＝0時，x1＝2，x2＝6．

，，，

對稱軸x＝4，

∴OB＝2，AB＝，BC＝4，

∵AB⊥BD，

∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，

∴△AOB∽△BEC，

∴，即，解得，

∵，

故拋物線的對稱軸l與⊙C相交．

【點睛】

本題考查待定係數法求二次函數解析式、相似三角形的判定與*質、直線與圓的位置關係等內容，掌握數形結合的思想是解題的關鍵．

知識點：二次函數單元測試

題型：解答題