問題詳情:
如圖1,在平面直角座標系中,拋物線與軸交於點、(點在點右側),點為拋物線的頂點.點在軸的正半軸上,交軸於點,繞點順時針旋轉得到,點恰好旋轉到點,連接.
(1)求點、、的座標;
(2)求*:四邊形是平行四邊形;
(3)如圖2,過頂點作軸於點,點是拋物線上一動點,過點作軸,點為垂足,使得與相似(不含全等).
①求出一個滿足以上條件的點的橫座標;
②直接回答這樣的點共有幾個?
【回答】
(1),,;(2)*見解析;(3)①點P的橫座標為,,,②點P共有3個.
【分析】
(1)令y=0,可得關於x的方程,解方程求得x的值即可求得A、B兩點的座標,對解析式*可得頂點D的座標;
(2)由,CO⊥AF,可得OF=OA=1,如圖2,易得,由此可得,繼而*為等邊三角形,推導可得,再由,,可得,問題得*;
(3)①設點的座標為,分三種情況:點在點左側,點在點右側,點在之間,分別討論即可得;
②由①的結果即可得.
【詳解】
(1)令,
解得或,
故,,
*得,故;
(2)∵,CO⊥AF,
∴OF=OA=1,
如圖,DD1⊥軸,∴DD1//CO,
∴,
∴,
即,
∴,
∴CF==2,
∴,
即為等邊三角形,
∴∠AFC=∠ACF=60°,
∵∠ECF=∠ACF,
∴,
∴,
∵CF:DF=OF:FD1=1:2,
∴DF=4,∴CD=6,
又∵,,
∴,
∴四邊形是平行四邊形;
(3)①設點的座標為,
(ⅰ)當點在點左側時,
因為與相似,
則1),
即,
∴(舍),x2=-11;
2),
即,
∴(舍),;
(ⅱ)當點在點右側時,
因為與相似,
則3),
即,
∴(舍),(舍);
4),
即,
∴(舍),(舍);
(ⅲ)當點在之間時,
∵與相似,
則5),
即,
∴(舍),(舍);
6),
即,
∴(舍),;
綜上所述,點的橫座標為,,;
②由①可得這樣的點P共有3個.
【點睛】
本題考查的是函數與幾何綜合題,涉及了等邊三角形的判定與*質,平行四邊形的判定,相似三角形的判定與*質,解一元二次方程等,綜合*較強,有一定的難度,熟練掌握相關知識,正確進行分類討論並畫出符合題意的圖形是解題的關鍵.
知識點:二次函數單元測試
題型:解答題