問題詳情:
在平面直角座標系中,把與軸交點相同的二次函數圖像稱為“共根拋物線”.如圖,拋物線的頂點為,交軸於點、(點在點左側),交軸於點.拋物線與是“共根拋物線”,其頂點為.
(1)若拋物線經過點,求對應的函數表達式;
(2)當的值最大時,求點的座標;
(3)設點是拋物線上的一個動點,且位於其對稱軸的右側.若與相似,求其“共根拋物線”的頂點的座標.
【回答】
(1);(2)點;(3)或或或
【解析】
(1)由“共根拋物線”定義可知拋物線經過拋物線與x軸交點,故根據拋物線可求AB兩點座標進而由交點式設為,將點代入,即可求出解;
(2)由拋物線對稱*可知PA=PB,∴,根據三角形兩邊之差小於第三邊可知噹噹、、三點共線時,的值最大,而P點在對稱軸為上,由此求出點P座標;
(3)根據點ABC座標可*△ABC為直角三角形,與相似,分兩種情況討論:當、時,分別利用對應邊成比例求解即可.
【詳解】
解:(1)當時,,解得,.
∴、、.
由題意得,設對應的函數表達式為,
又∵經過點,
∴,
∴.
∴對應的函數表達式為.
(2)∵、與軸交點均為、,
∴、的對稱軸都是直線.
∴點在直線上.
∴.
如圖1,當、、三點共線時,的值最大,
此時點為直線與直線的交點.
由、可求得,直線對應的函數表達式為.
∴點.
(3)由題意可得,,,,
因為在中,,故.
由,得頂點.
因為的頂點P在直線上,點Q在上,
∴不可能是直角.
第一種情況:當時,
①如圖2,當時,則得.
設,則,
∴.
由得,解得.
∵時,點Q與點P重合,不符合題意,
∴捨去,此時.
②如圖3,當時,則得.
設,則.
∴.
由得,解得(舍),此時.
第二種情況:當時,
①如圖4,當時,則得.
過Q作交對稱軸於點M,∴.
∴.由圖2可知,
∴.
∴,又,代入得.
∵點,
∴點.
②如圖5,當時,則.
過Q作交對稱軸於點M,
∴,則.
由圖3可知,,
∴,,
∴.
又,代入得.
∵點,
∴點,
綜上所述,或或或.
【點睛】
本題是二次函數的綜合題,關鍵是根據待定係數法求解析式,二次函數圖象上點的座標特徵,以及相似三角形的*質解答.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題