某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規定其銷售單價不低於每件30元，不高於每件60元．銷售一段時間...

問題詳情：

某服裝超市購進單價為30元的童裝若干件，物價部門規定其銷售單價不低於每件30元，不高於每件60元．銷售一段時間後發現：當銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件．同時，在銷售過程中，每月還要支付其他費用450元．設銷售單價為x元，平均月銷售量為y件．

（1）求出y與x的函數關係式，並寫出自變量x的取值範圍．

（2）當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元？

（3）當銷售單價為多少元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大？最大利潤是多少？

【回答】

（1）y＝﹣2x+200  （30≤x≤60）；（2）當銷售單價為55元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元；（3）當銷售單價為60元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大，最大利潤是1950元．

【分析】

（1）當銷售單價為60元時，平均每月銷售量為80件，而當銷售單價每降低10元時，平均每月能多售出20件．從而用60減去x，再除以10，就是降價幾個10元，再乘以20，再把80加上就是平均月銷售量；

（2）利用（售價﹣進價）乘以平均月銷售量，再減去每月需要支付的其他費用，讓其等於1800，解方程即可；

（3）由（2）方程式左邊，可得每月獲得的利潤函數，寫成頂點式，再結合函數的自變量取值範圍，可求得取最大利潤時的x值及最大利潤．

【詳解】

解：（1）由題意得：y＝80+20×

∴函數的關係式為：y＝﹣2x+200  （30≤x≤60）

（2）由題意得：

（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450＝1800

解得x1＝55，x2＝75（不符合題意，捨去）

答：當銷售單價為55元時，銷售這種童裝每月可獲利1800元．

（3）設每月獲得的利潤為w元，由題意得：

w＝（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450

＝﹣2（x﹣65）2+2000

∵﹣2＜0

∴當x≤65時，w隨x的增大而增大

∵30≤x≤60

∴當x＝60時，w最大＝﹣2（60﹣65）2+2000＝1950

答：當銷售單價為60元時，銷售這種童裝每月獲得利潤最大，最大利潤是1950元．

【點睛】

本題綜合考查了一次函數、一元二次方程、二次函數在實際問題中的應用，具有較強的綜合*．

知識點：一次函數

題型：解答題