已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切於點C,與AC相交...

問題詳情：

已知,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3.以AC上一點O為圓心的⊙O與BC相切於點C,與AC相交於點D.

(Ⅰ)如圖①,若⊙O與AB相切於點E,求⊙O的半徑;

(Ⅱ)如圖②,若⊙O在AB邊上截得的弦FG=,求⊙O的半徑.

【回答】

解:(Ⅰ)如解圖①,連接OE,∵⊙O與AB相切於點E,

∴OE⊥AB,

設OE=x,則CO=x,AO=4－x,

∵⊙O與AB相切於點E,

∴∠AEO=90°,

∵∠A=∠A,∠AEO=∠ACB=90°,

∴Rt△AOE∽Rt△ABC,

∴,∴,解得:x=,

∴⊙O的半徑為.

(Ⅱ)如解圖②,過點O作OH⊥AB,垂足為點H,則H為FG的中點,FH=FG=,

連接OF,設OF=x,則OA=4－x,

由Rt△AOH∽Rt△ABC可得OH=,

在Rt△OHF中,據勾股定理得:OF2=FH2＋OH2,

∴x2=()2＋()2,解得x1=,x2=－(捨去),

∴⊙O的半徑為.

    圖①                 圖②

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題