如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB、連接DO並延長交C...

問題詳情：

如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑作⊙O，點D為⊙O上一點，且CD=CB、連接DO並延長交CB的延長線於點E

（1）判斷直線CD與⊙O的位置關係，並説明理由；

（2）若BE=4，DE=8，求AC的長．

【回答】

（1）相切，*見解析；（2）6.

【分析】

（1）欲*CD是切線，只要*OD⊥CD，利用全等三角形的*質即可*；

（2）設⊙O的半徑為r．在Rt△OBE中，根據OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E=，推出，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解決問題．

【詳解】

解：（1）相切，理由如下，

如圖，連接OC，

∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，

∴△OCB≌△OCD，

∴∠ODC=∠OBC=90°，

∴OD⊥DC，

∴DC是⊙O的切線；

（2）設⊙O的半徑為r，

在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，

∴（8﹣r）2=r2+42，

∴r=3，AB=2r=6，

∵tan∠E=，

∴，

∴CD=BC=6，

在Rt△ABC中，AC=．

【點睛】

本題考查直線與圓的位置關係、圓周角定理、勾股定理、鋭角三角函數等知識，正確添加輔助線，熟練掌握和靈活應用相關知識解決問題是關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題