如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC相切於點E.(1)若A...

問題詳情：

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O是AB邊上的一點，以OA為半徑的⊙O與邊BC相切於點E.

(1)若AC＝5，BC＝13，求⊙O的半徑；

(2)過點E作弦EF⊥AB於M，連接AF，若∠F＝2∠B，求*：四邊形ACEF是菱形．

(導學號　02052449)

【回答】

解：(1)如圖，連接OE，設圓O半徑為r，

在Rt△ABC中，BC＝13，AC＝5，

根據勾股定理得：AB＝＝12，

∵BC與⊙O相切，切點為E，∴OE⊥BC，

∴∠OEB＝∠BAC＝90°，

∵∠B＝∠B，∴△BOE∽△BCA，∴＝，即＝，

解得：r＝；

(2)∵＝，∠F＝2∠B，

∴∠AOE＝2∠F＝4∠B，

∵∠AOE＝∠OEB＋∠B，

∴∠B＝30°，∠F＝60°，

∵EF⊥AD，∴∠EMB＝∠CAB＝90°，

∴∠MEB＝∠F＝60°，CA∥EF，∴CB∥AF，

∴四邊形ACEF為平行四邊形，

∵∠CAB＝90°，OA為半徑，∴CA為圓O的切線，

∵BC為圓O的切線，∴CA＝CE，

∴平行四邊形ACEF為菱形

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題