如圖所示，正方體的稜長為1，分別是稜的中點，過直線的平面分別與稜交於，設求:(1)求與面所成的角的大小；(2)...

問題詳情：

如圖所示，正方體的稜長為1，分別是稜的中點，過直線的平面分別與稜交於，設求:

(1)求與面所成的角的大小；

(2)求四稜錐的體積並討論它的單調*；

(3)若點是正方體稜上一點，試*:滿足成立的點的個數為6.

【回答】

(1)  (2) ,不具有單調*  (3)  *見解析.

【分析】

(1) 作於H,連接,則即為與面所成的角.根據線面關係可判定為直角三角形,結合稜長,即可求得的大小.

(2) 連接可知四稜錐的體積為定值,與的值無關,因而沒有單調*.

(3) 根據題意可知, , 所以P在以、為焦點,長軸為2的橢圓上.即橢圓與正方體各稜的交點可滿足等式成立.

【詳解】

(1)　作於H,連接如下圖所示:

則,即為與面所成的角

因為

所以為等腰直角三角形

所以

(2)　連接

則四稜錐可以分割成兩個小的三稜錐,即和,如下圖所示:

因為

所以到平面的距離為定值,同理到平面的距離也為定值

且、到平面的距離相等

即

因為為常數函數，所以不具有單調*

(3)　由題意可知, ,

所以P在以、為焦點,長軸為2的橢圓上.

,所以

同時P為正方體稜上的一點

所以P為正方體的稜與橢圓的交點

由正方體*質可知符合要求的點P在,,,,,上各有一點

所以共有6個點

結論得*.

【點睛】

本題考查了空間結構體線面夾角的求法,四稜錐體積的求法,空間幾何與解析幾何的綜合,具有很強的綜合*,屬於難題.

知識點：空間幾何體

題型：解答題