如圖，正四稜柱的底面邊長為，側稜長為1，求：（1）直線與直線所成角的餘弦值；（2）平面與平面所成二面角的正弦值...

問題詳情：

如圖，正四稜柱的底面邊長為，側稜長為1，求：

（1）直線與直線所成角的餘弦值；

（2）平面與平面所成二面角的正弦值．

【回答】

（1）（2）

【解析】

（1）以 {，，} 為正交基底建立空間直角座標系D﹣xyz，利用向量法能求出直線A1C與直線AD1所成角的餘弦值；

（2）求出平面D1AC的一個法向量和平面ABB1A1的一個法向量，利用向量法能求出平面D1AC與平面ABB1A1所成二面角的正弦值．

【詳解】

(1)如圖，正四稜柱的底面邊長為，側稜長為1，

故以  為正交基底建立空間直角座標系．

則，，，

， ．

（1）因為  ，

 ，

所以，

，，

從而．  

又異面直線所成的角的範圍是，

所以直線與直線所成角的餘弦值為．    

（2），，

設平面的一個法向量為，

則從而即

取，可得，，即．   

在正四稜柱中，平面，

又，

所以為平面的一個法向量．    

因為，且，，

所以．

因此平面與平面所成二面角的正弦值為．

【點睛】

本題考查異面直線所成角的餘弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關係等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題