問題詳情:
如圖,正三稜柱的所有稜長都為,為中點.建立如圖的空間直角座標系。
(1)求*:平面;
(2)求二面角的正弦值;
(3)求點到平面的距離.
【回答】
解法一:(Ⅰ)取中點,連結.為正三角形,.
正三稜柱中,平面平面,平面.
連結,在正方形中,分別為的中點, ,.
在正方形中,,平面.
(Ⅱ)設與交於點,在平面中,作於,
連結,由(Ⅰ)得平面.
,為二面角的平面角.
在中,由等面積法可求得,
又,.
所以二面角的正弦值為.
(Ⅲ)中,,.
在正三稜柱中,到平面的距離為.
設點到平面的距離為.
由得,.
點到平面的距離為.
解法二:(Ⅰ)取中點,連結.
為正三角形,.
在正三稜柱中,平面平面,平面.
取中點,以為原點,,,的方向為軸的正方向建立
空間直角座標系,則,,,,,
,,.
,,
,.
平面.
(Ⅱ)設平面的法向量為.
,.
,,
令得為平面的一個法向量.
由(Ⅰ)知平面,為平面的法向量.
,.所以二面角的正弦值為.
(Ⅲ)由(Ⅱ),為平面法向量,.
點到平面的距離
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題