正方體的稜長為，且與交於點，為稜中點，以為原點，建立空間直角座標系，如圖所示，(1)求*：平面；(2)若點在...

問題詳情：

 正方體 的稜長為，且 與交於點，為稜中點，以為原點，建立空間直角座標系，如圖所示，

(1)求*：平面；

(2)若點在上且 ，試求點的座標；

(3)求二面角的正弦值.

【回答】

解：（1）*：由題設知各點座標為1分

∵ 是正方形的中心，∴

∴  ……3分

∴，             即，

∴平面   ……4分

（2）由點在上，根據空間向量知識，可設點的座標為，……5分

則   ……6分

∵     ∴  ……7分

∴      即  ……8分

（3）由（1）知平面，是平面的一個法向量

，，

設是平面的一個法向量，則

，令，則

    ……9分

設二面角為，依題意，如圖可知為鋭角，

所以二面角的餘弦值為   ……10分

，  ……11分

故二面角的正弦值為.  ……12分

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題