問題詳情:
已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點,過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)於點P.
(1)當點P在線段AB上時,求*:△AQP∽△ABC;
(2)當△PQB為等腰三角形時,求AP的長.
28.
【回答】
【考點】相似三角形的判定與*質;等腰三角形的*質;直角三角形斜邊上的中線;勾股定理.
【分析】(1)由兩對角相等(∠APQ=∠C,∠A=∠A),*△AQP∽△ABC;
(2)當△PQB為等腰三角形時,有兩種情況,需要分類討論.
(I)當點P在線段AB上時,如題圖1所示.由三角形相似(△AQP∽△ABC)關係計算AP的長;
(II)當點P在線段AB的延長線上時,如題圖2所示.利用角之間的關係,*點B為線段AP的中點,從而可以求出AP.
【解答】(1)*:∵PQ⊥AQ,
∴∠AQP=90°=∠ABC,
在△APQ與△ABC中,
∵∠AQP=90°=∠ABC,∠A=∠A,
∴△AQP∽△ABC.
(2)解:在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,由勾股定理得:AC=5.
∵∠QPB為鈍角,
∴當△PQB為等腰三角形時,
(I)當點P在線段AB上時,如題圖1所示.
∵∠QPB為鈍角,
∴當△PQB為等腰三角形時,只可能是PB=PQ,
由(1)可知,△AQP∽△ABC,
∴,即,解得:PB=,
∴AP=AB﹣PB=3﹣=;
(II)當點P在線段AB的延長線上時,如題圖2所示.
∵∠QBP為鈍角,
∴當△PQB為等腰三角形時,只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ,∴∠BQP=∠P,
∵∠BQP+∠AQB=90°,∠A+∠P=90°,
∴∠AQB=∠A,
∴BQ=AB,
∴AB=BP,點B為線段AP中點,
∴AP=2AB=2×3=6.
綜上所述,當△PQB為等腰三角形時,AP的長為或6.
知識點:相似三角形
題型:解答題