梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別...

問題詳情：

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，其面積分別是S1、S2、S3，且S1+S3=4S2，則CD=（　　）

A．2.5AB       B．3AB   C．3.5AB       D．4AB

【回答】

B【考點】勾股定理；等腰直角三角形；相似三角形的判定與*質．

【專題】計算題；*題；壓軸題．

【分析】過點B作BM∥AD，根據AB∥CD，求*四邊形ADMB是平行四邊形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求*△MBC為Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面積的比等於相似比的平方求出MC即可．

【解答】解：過點B作BM∥AD，

∵AB∥CD，∴四邊形ADMB是平行四邊形，

∴AB=DM，AD=BM，

又∵∠ADC+∠BCD=90°，

∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC為Rt△，

∴MC2=MB2+BC2，

∵以AD、AB、BC為斜邊向外作等腰直角三角形，

∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，

=， =，

即AD2=，BC2=，

∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+=，

∵S1+S3=4S2，

∴MC2=4AB2，MC=2AB，

CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．

故選：B．

【點評】此題涉及到相似三角形的判定與*質，勾股定理，等腰直角三角形等知識點，解答此題的關鍵是過點B作BM∥AD，此題的突破點是利用相似三角形的*質求得MC=2AB，此題有一定的拔高難度，屬於難題．

知識點：勾股定理

題型：選擇題