問題詳情:
如圖,四邊形ABCD中,AC、BD是它的對角線,∠ABC=∠ADC=90°,∠BCD是鋭角.
(1)若BD=BC,*:sin∠BCD=.
(2)若AB=BC=4,AD+CD=6,求的值.
(3)若BD=CD,AB=6,BC=8,求sin∠BCD的值.
(注:本題可根據需要自己畫圖並解答)
【回答】
【解答】解:(1)如圖1中,過點B作AD的垂線BE交DA的延長線於點E,
∵∠ABC=∠ADC=90°,
∴∠ADC+∠ABC=180°,
∴四邊形ABCD四點共圓,
∴∠BDE=∠ACB,∠EAB=∠BCD,
∵∠BED=∠ABC=90°,
∴△BED∽△ABC,
∴==sin∠EAB=sin∠BCD;
(2)如圖2中,過點B作BF⊥BD交DC的延長線於F.
∵∠ABC=∠DBF=90°,∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°,∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠BAD=180°﹣∠BCD=∠BCF,
∵∠BCF=∠BAD,BC=BA,
∴△DAB≌△CBF,
∴BD=BF,AD=CF,
∵∠DBF=90°,
∴△BDF是等腰直角三角形,
∴BD=DF,
∵AD+CD=6,
∴CF+CD=DF=6,
∴BD=3,AC==4,
∴==.
(3)當BD=CD時,如圖3中,過點B作MN∥DC,過點C作CN⊥MN,垂足為N,延長DA交MN於點M,則四邊形DCNM是矩形,△ABM∽△BCN,
∴===,
設AM=6y,BN=8y,BM=6x,CN=8x,
在Rt△BDM中,BD==10x,
∵BD=DC,
∴10x=6x+8y,
∴x=2y,
在Rt△DABM中,AB==6y,
∴sin∠BCD=sin∠MAB===.
知識點:相似三角形
題型:解答題