已知正方形ABCD邊長為4，點P為其所在平面內一點，PD＝，∠BPD＝90°，則點A到BP的距離等於

問題詳情：

已知正方形ABCD邊長為4，點P為其所在平面內一點，PD＝，∠BPD＝90°，則點A到BP的距離等於_____．

【回答】

或

【解析】

【分析】

由題意可得點P在以D為圓心，為半徑的圓上，同時點P也在以BD為直徑的圓上，即點P是兩圓的交點，分兩種情況討論，由勾股定理可求BP，AH的長，即可求點A到BP的距離．

【詳解】

∵點P滿足PD＝，

∴點P在以D為圓心，為半徑的圓上，

∵∠BPD＝90°，

∴點P在以BD為直徑的圓上，

∴如圖，點P是兩圓的交點，

若點P在AD上方，連接AP，過點A作AH⊥BP，

∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，

∴BD＝4，

∵∠BPD＝90°，

∴BP＝＝3，

∵∠BPD＝90°＝∠BAD，

∴點A，點B，點D，點P四點共圓，

∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，

∴∠HAP＝∠APH＝45°，

∴AH＝HP，

在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，

∴16＝AH2+（3﹣AH）2，

∴AH＝（不合題意），或AH＝，

若點P在CD的右側，

同理可得AH＝，

綜上所述：AH＝或．

【點睛】

本題是正方形與圓的綜合題，正確確定點P是以D為圓心，為半徑的圓和以BD為直徑的圓的交點是解決問題的關鍵．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：填空題