如圖，在四稜錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，A點在PD上的*...

問題詳情：

如圖，在四稜錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，A點在PD上的*影為G點，E點在AB上，平面PEC⊥平面PDC．

（Ⅰ）求*：AG∥平面PEC；

（Ⅱ）求AE的長；

（Ⅲ）求二面角E﹣PC﹣A的正弦值．

【回答】

（Ⅰ）*：∵CD⊥AD，CD⊥PA

∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AG，

又PD⊥AG

∴AG⊥平面PCD           …（2分）

作EF⊥PC於F，因面PEC⊥面PCD

∴EF⊥平面PCD∴EF∥AG

又AG⊄面PEC，EF⊂面PEC，

∴AG∥平面PEC     …

（Ⅱ）由（Ⅰ）知A、E、F、G四點共面，又AE∥CD∴AE∥平面PCD

∴AE∥GF∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF       …

∵PA＝3，AB＝4∴PD＝5，AG，

又PA2＝PG•PD∴PG（6分）

又∴∴

（Ⅲ）過E作EO⊥AC於O點，易知EO⊥平面PAC，

又EF⊥PC，∴OF⊥PC∴∠EFO即為二面角E﹣PC﹣A的平面角  …，又EF＝AG

∴（13分）

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題