已知，正方形ABPD的邊長為3，將邊DP繞點P順時針旋轉90°至PC，E、F分別為線段DP、CP上兩個動點（不...

問題詳情：

已知，正方形ABPD的邊長為3，將邊DP繞點P順時針旋轉90°至PC，E、F分別為線段DP、CP上兩個動點（不與D、P、C重合），且DE=CF，連接BE並延長分別交DF、DC於H、G．

（1）①求*：△BPE≌△DPF，②判斷BG與DF位置關係並説明理由；

（2）當PE的長度為多少時，四邊形DEFG為菱形並説明理由；

（3）連接AH，在點E、F運動的過程中，∠AHB的大小是否發生改變？若改變，請説出是如何變化的；若不改變，請求出∠AHB的度數．

【回答】

【解答】（1）①*：由旋轉的*質可知，△DPC是等腰直角三角形，

∵四邊形ABPD是正方形，

∴BP=PD=PC，∠BPE=∠DPF=90°，

∵DE=CF，

∴PE=PF， 

在△BPE和△DPF中，

，

∴△BPE≌△DPF；

②∵△BPE≌△DPF，

∴∠EBP=∠FDP，又∠FDP+∠BFH=90°，

∴∠EBP+∠BFH=90°，即BG⊥DF；

（2）當PE=3﹣3時，四邊形DEFG為菱形；

理由如下：在正方形ABPD中，BP=PD=3，

∵PE=3﹣3，

∴EF==6﹣3，

DE=PD﹣PE=6﹣3，

∴EF=ED，

∵BG⊥DF，

∴EG垂直平分DF，

∴GD=GF，

∵∠PEF=∠PDC=45°，

∴EF∥DG，

∴∠EFD=∠FDG，

∵DE=EF，

∴∠EFD=∠EDF，

∴∠EDG=∠FDE，

∵BG⊥DF，

∴∠DEG=∠DGE，

∴DE=DG，

∴DE=DG=GF=EF，

∴四邊形DEFG是菱形；

（3）∠AHB的大小不變，∠AHB=45°，

*：連接BD，取BD的中點O，連接OA、OH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，∠ADB=45°，

∵BG⊥DF，[來源:學科網ZXXK]

∴∠DHB=90°，

則OA=OB=OD=OH=BD，

∴點A、B、H、D在以O為圓心、OA為半徑的圓上，

∴∠AHB=∠ADB=45°．

知識點：圖形的旋轉

題型：綜合題