問題詳情:
)如圖1,圖形ABCD是由兩個二次函數y1=kx2+m(k<0)與y2=ax2+b(a>0)的部分圖象圍成的封閉圖形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).
(1)直接寫出這兩個二次函數的表達式;
(2)判斷圖形ABCD是否存在內接正方形(正方形的四個頂點在圖形ABCD上),並説明理由;
(3)如圖2,連接BC,CD,AD,在座標平面內,求使得△BDC與△ADE相似(其中點C與點E是對應頂點)的點E的座標
【回答】
【分析】(1)利用待定係數法即可得出結論;
(2)先確定出MM'=(1﹣m2)﹣(3m2﹣3)=4﹣4m2,進而建立方程2m=4﹣4m2,即可得出結論;
(3)先利用勾股定理求出AD=,同理:CD=,BC=,再分兩種情況:
①如圖1,當△DBC∽△DAE時,得出,進而求出DE=,即可得出E(0,﹣),
再判斷出△DEF∽△DAO,得出,求出DF=,EF=,再用面積法求出E'M=,即可得出結論;
②如圖2,當△DBC∽△ADE時,得出,求出AE=,
當E在直線AD左側時,先利用勾股定理求出PA=,PO=,進而得出PE=,再判斷出即可得出點E座標,當E'在直線DA右側時,即可得出結論.
【解答】解:(1)∵點A(1,0),B(0,1)在二次函數y1=kx2+m(k<0)的圖象上,
∴,
∴,
∴二次函數解析式為y1=﹣x2+1,
∵點A(1,0),D(0,﹣3)在二次函數y2=ax2+b(a>0)的圖象上,
∴,
∴,
∴二次函數y2=3x2﹣3;
(2)設M(m,﹣m2+1)為第一象限內的圖形ABCD上一點,M'(m,3m2﹣3)為第四象限的圖形上一點,
∴MM'=(1﹣m2)﹣(3m2﹣3)=4﹣4m2,
由拋物線的對稱*知,若有內接正方形,
∴2m=4﹣4m2,
∴m=或m=(舍),
∵0<<1,
∴存在內接正方形,此時其邊長為;
(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,
∴AD==,
同理:CD=,
在Rt△BOC中,OB=OC=1,
∴BC==,
①如圖1,當△DBC∽△DAE時,
∵∠CDB=∠ADO,
∴在y軸上存在E,由,
∴,
∴DE=,
∵D(0,﹣3),
∴E(0,﹣),
由對稱*知,在直線DA右側還存在一點E'使得△DBC∽△DAE',
連接EE'交DA於F點,作E'M⊥OD於M,連接E'D,
∵E,E'關於DA對稱,
∴DF垂直平分線EE',
∴△DEF∽△DAO,
∴,
∴,
∴DF=,EF=,
∵S△DEE'=DE•E'M=EF×DF=,
∴E'M=,
∵DE'=DE=,
在Rt△DE'M中,DM==2,
∴OM=1,
∴E'(,﹣1),
②如圖2,
當△DBC∽△ADE時,有∠BDC=∠DAE,,
∴,
∴AE=,
當E在直線AD左側時,設AE交y軸於P,作EQ⊥AC於Q,
∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,
∴PD=PA,
設PD=n,
∴PO=3﹣n,PA=n,
在Rt△AOP中,PA2=OA2+OP2,
∴n2=(3﹣n)2+1,
∴n=,
∴PA=,PO=,
∵AE=,
∴PE=,
在AEQ中,OP∥EQ,
∴,
∴OQ=,
∵,
∴QE=2,
∴E(﹣,﹣2),
當E'在直線DA右側時,
根據勾股定理得,AE==,
∴AE'=
∵∠DAE'=∠BDC,∠BDC=∠BDA,
∴∠BDA=∠DAE',
∴AE'∥OD,
∴E'(1,﹣),
綜上,使得△BDC與△ADE相似(其中點C與E是對應頂點)的點E的座標有4個,
即:(0,﹣)或(,﹣1)或(1,﹣)或(﹣,﹣2).
【點評】此題是二次函數綜合題,主要考查了待定係數法,勾股定理,相似三角形的判定和*質,對稱*,正確作出輔助線和用分類討論的思想是解本題的關鍵.
知識點:各地中考
題型:解答題