如圖，已知二次函數y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），...

問題詳情：

如圖，已知二次函數y=x2+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的圖象與x軸交於A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交於點C，對稱軸為直線l．設P為對稱軸l上的點，連接PA、PC，PA=PC

（1）∠ABC的度數為　   　；

（2）求P點座標（用含m的代數式表示）；

（3）在座標軸上是否存在着點Q（與原點O不重合），使得以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，且線段PQ的長度最小？如果存在，求出所有滿足條件的點Q的座標；如果不存在，請説明理由．

【回答】

解：（1）令x=0，則y=﹣m，C點座標為：（0，﹣m）

令y=0，則x2+（1﹣m）x﹣m=0，

解得：x1=﹣1，x2=m，

∵0＜m＜1，點A在點B的左側，

∴B點座標為：（m，0），

∴OB=OC=m，

∵∠BOC=90°，

∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°；

故*為：45°；

（2）如圖1，作PD⊥y軸，垂足為D，設l與x軸交於點E，

由題意得，拋物線的對稱軸為：x=，

設點P座標為：（，n），

∵PA=PC，

∴PA2=PC2，

即AE2+PE2=CD2+PD2，

∴（+1）2+n2=（n+m）2+（）2，

解得：n=，

∴P點的座標為：（，）；

（3）存在點Q滿足題意，

∵P點的座標為：（，），

∴PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2，

=（+1）2+（）2+（+m）2+（）2

=1+m2，

∵AC2=1+m2，

∴PA2+PC2=AC2，

∴∠APC=90°，

∴△PAC是等腰直角三角形，

∵以Q、B、C為頂點的三角形與△PAC相似，

∴△QBC是等腰直角三角形，

∴由題意可得滿足條件的點Q的座標為：（﹣m，0）或（0，m），

①如圖1，當Q點座標為：（﹣m，0）時，

若PQ與x軸垂直，則=﹣m，

解得：m=，PQ=，

若PQ與x軸不垂直，

則PQ2=PE2+EQ2

=（）2+（+m）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+

∵0＜m＜1，

∴當m=時，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴當m=，即Q點的座標為：（﹣，0）時，PQ的長度最小，

②如圖2，當Q點的座標為：（0，m）時，

若PQ與y軸垂直，則=m，

解得：m=，PQ=，

若PQ與y軸不垂直，

則PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m﹣）2

=m2﹣2m+

=（m﹣）2+，

∵0＜m＜1，

∴當m=時，PQ2取得最小值，PQ取得最小值，

∵＜，

∴當m=，即Q點的座標為：（0，）時，PQ的長度最小，

綜上所述：當Q點座標為：（﹣，0）或（0，）時，PQ的長度最小．

知識點：二次函數與一元二次方程

題型：解答題