問題詳情:
已知數列{an}的前n項和為Sn,把滿足條件an+1≤Sn(n∈N*)的所有數列{an}構成的*記為M.
(1)若數列{an}通項為an=,求*:{an}∈M;
(2)若數列{an}是等差數列,且{an+n}∈M,求2a5-a1的取值範圍;
(3)若數列{an}的各項均為正數,且{an}∈M,數列{}中是否存在無窮多項依次成等差數列,若存在,給出一個數列{an}的通項;若不存在,説明理由.
【回答】
解:(1)因為an=,所以Sn=×=1-()n,
所以an+1-Sn=()n+1-1+()n=()n-1≤×-1=-<0,
所以an+1<Sn,即{an}∈M. ………………4分
(2)設{an}的公差為d,因為{an+n}∈M,
所以an+1+n+1≤(a1+1)+(a2+2)+…+(an+n) (*)
特別的當n=1時,a2+2≤a1+1,即d≤-1,
由(*)得a1+nd+n+1≤na1+d+,
整理得n2+(a1-d-)n-a1-1≥0,
因為上述不等式對一切n∈N*恆成立,所以必有≥0,解得d≥-1,
又d≤-1,所以d=-1,
於是(a1+1)n-a1-1≥0,即(a1+1)(n-1)≥0,所以a1+1≥0,即a1≥-1,
所以2a5-a1=2(a5-a1)+a1=8d+a1=-8+a1≥-9,
因此2a5-a1的取值範圍是[-9,+∞). ………………10分
(3)由an+1≤Sn得Sn+1-Sn≤Sn,所以Sn+1≤2Sn,即≤2,
所以=××…×≤2n,從而有Sn+1≤S1×2n=a1×2n,
又an+1≤Sn,所以an+2≤Sn+1≤a1×2n,即an≤a1×2n-2(n≥3),
又a2≤S1=a1×22-2,a1<a1×21-2,所以有an≤a1×2n-2(n∈N*),所以≥×2n,
假設數列{}中存在無窮多項依次成等差數列,
不妨設該等差數列的第n項為dn+b(b為常數),
則存在m∈N,m≥n,使得dn+b=≥×2m≥×2n,即da1n+ba1≥2n+2,
設f (n)=,n∈N*,n≥3, 則f (n+1)-f (n)=-=<0,
即f (n+1)<f (n)≤f (3)=<1,
於是當n≥3時,2n+2>n2,從而有:當n≥3時da1n+ba1>n2,即n2-da1n-ba1<0,
於是當n≥3時,關於n的不等式n2-da1n-ba1<0有無窮多個解,顯然不成立,
因此數列{}中是不存在無窮多項依次成等差數列. ………………16分
知識點:數列
題型:解答題