設函數y=x2+2kx+k﹣1（k為常數），下列説法正確的是（　　）A．對任意實數k，函數與x軸都沒有交點B．...

問題詳情：

設函數y=x2+2kx+k﹣1（k為常數），下列説法正確的是（　　）

A．對任意實數k，函數與x軸都沒有交點

B．存在實數n，滿足當x≥n時，函數y的值都隨x的增大而減小

C．k取不同的值時，二次函數y的頂點始終在同一條直線上

D．對任意實數k，拋物線y=x2+2kx+k﹣1都必定經過唯一定點

【回答】

D【考點】二次函數的*質．

【分析】A、計算出△，根據△的值進行判斷；

B、根據二次函數的*質即可判斷；

C、得到拋物線的頂點，寫成方程組，消去k得y=﹣x2﹣x﹣1，即可判斷；

D、令k=1和k=0，得到方程組，求出所過點的座標，再將座標代入原式驗*即可；

【解答】解：A、∵△=（2k）2﹣4（k﹣1）=4k2﹣4k+4=4（k﹣）2+3＞0，

∴拋物線的與x軸都有兩個交點，故A錯誤；

B、∵a=1＞0，拋物線的對稱軸x=﹣=﹣k，

∴在對稱軸的左側函數y的值都隨x的增大而減小，

即當x＜k時，函數y的值都隨x的增大而減小，

當n=﹣k時，當x≥n時，函數y的值都隨x的增大而增大，故B錯誤；

C、∵y=x2+2kx+k﹣1=（x+k）2﹣k2+k﹣1，

∴拋物線的頂點為（﹣k，﹣k2+k﹣1），

∴，

消去k得，y=﹣x2﹣x﹣1

由此可見，不論k取任何實數，拋物線的頂點都滿足函數y=﹣x2﹣x﹣1，

即在二次函數y=﹣x2﹣x﹣1的圖象上．故C錯誤；

D、令k=1和k=0，得到方程組：，解得，

將代入x2+2kx+k﹣1得，﹣k+k﹣1=﹣，與k值無關，不論k取何值，拋物線總是經過一個定點（﹣，﹣），故D正確．

故選D．

【點評】本題考查了二次函數的*質，熟悉函數和函數方程的關係、函數的*質是解題的關鍵．

知識點：二次函數的圖象和*質

題型：選擇題