問題詳情:
已知函數f(x)=2x+k·2-x,k∈R.
(1)若函數f(x)為奇函數,求實數k的值;
(2)若對任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求實數k的取值範圍.
【回答】
解:(1)∵f(x)=2x+k·2-x是奇函數,∴f(-x)=-f(x),x∈R,
即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),
∴(1+k)2x+(k+1)22x=0對一切x∈R恆成立,
∴k=-1.
(2)∵對x∈[0,+∞),均有f(x)>2-x,即2x+k·2-x>2-x成立,
∴1-k<22x對x≥0恆成立.
∴1-k<(22x)min(x≥0),
又y=22x在[0,+∞)上單調遞增,∴(22x)min=1,
∴k>0.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題