已知關於x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個實數根x1，x2．（1）求實數k的取值範圍．...

問題詳情：

已知關於x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有兩個實數根x1，x2．

（1）求實數k的取值範圍．

（2）是否存在實數k，使得x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請説明理由．

【回答】

【解析】（1）根據判別式的意義得到△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，然後解不等式即可；

（2）根據根與係數的關係得到x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，再把x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16變形為﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，所以﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，然後解方程後利用（1）中的範圍確定滿足條件的k的值．

解：（1）根據題意得△＝（2k+1）2﹣4（k2+2k）≥0，解得k≤；

（2）根據題意得x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2+2k，

∵x1x2﹣x12﹣x22＝﹣16．∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]＝﹣16，

即﹣（x1+x2）2+3x1•x2＝﹣16，∴﹣（2k+1）2+3（k2+2k）＝﹣16，

整理得k2﹣2k﹣15＝0，

解得k1＝5（捨去），k2＝﹣3． ∴k＝﹣3．

知識點：解一元二次方程

題型：解答題