已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交於不同的...

問題詳情：

已知橢圓C： +=1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交於不同的兩點M，N，

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）當△AMN的面積為時，求k的值．

【回答】

【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．

【分析】（Ⅰ）根據橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；

（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離，利用△AMN的面積為，可求k的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A （2，0），離心率為，

∴

∴b=

∴橢圓C的方程為；

（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0

設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，

∴|MN|==

∵A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離為

∴△AMN的面積S=

∵△AMN的面積為，

∴

∴k=±1．

【點評】本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關係，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是正確求出|MN|．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題