如圖，在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(2，1)在橢圓C上．(1)求橢...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(2，1)在橢圓C上．

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 設直線l與圓O：x2＋y2＝2相切，與橢圓C相交於P，Q兩點．

① 若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積；

② 求*：OP⊥OQ.

【回答】

 (1) 解：由題意，得＝，＋＝1，

解得a2＝6，b2＝3.

所以橢圓的方程為＋＝1.(2分)

(2) ① 解：(解法1)橢圓C的右焦點F(，0)．

設切線方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

 (解法2)橢圓C的右焦點F(，0)．

設切線方程為y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，

所以＝，解得k＝±，

所以切線方程為y＝±(x－)．(4分)

把切線方程y＝(x－)代入橢圓C的方程，消去y得5x2－8x＋6＝0.

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有x1＋x2＝.

由橢圓定義可得，PQ＝PF＋FQ＝2a－e(x1＋x2)＝2×－

因為O到直線PQ的距離為，所以△OPQ的面積為.

因為橢圓的對稱*，當切線方程為y＝－(x－)時，△OPQ的面積也為.

綜上所述，△OPQ的面積為.(8分)

② *：(*法1)(ⅰ) 若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為x＝或x＝－.

當x＝時，P(，)，Q(，－)．

因為＝0，所以OP⊥OQ.

當x＝－時，同理可得OP⊥OQ.(10分)

(ⅱ) 若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0.

所以＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋

因為x＋y＝2，代入上式可得＝0，所以OP⊥OQ.

綜上所述，OP⊥OQ.(14分)

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題