已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F是橢圓的焦點，點A（0，﹣2），直線AF的斜率為，O為座標原點．...

問題詳情：

已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F是橢圓的焦點，點A（0，﹣2），直線AF的斜率為，O為座標原點．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）設過點A的直線l與E相交於P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求l的方程．

【回答】

解：（Ⅰ） 設F（c，0），由條件知，得又，

所以a=2，b2=a2﹣c2=1，故E的方程．…．（6分）

（Ⅱ）依題意當l⊥x軸不合題意，故設直線l：y=kx﹣2，設P（x1，y1），Q（x2，y2）   將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

當△=16（4k2﹣3）＞0，即時，

從而

又點O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設，則t＞0，，

若且唯若t=2，k=±等號成立，且滿足△＞0，

所以當△OPQ的面積最大時，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．…（12分）

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題