問題詳情:
已知橢圓C:的離心率為,橢圓C的長軸長為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:與橢圓C交於A,B兩點,是否存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請説明理由.
【回答】
解:(1)設橢圓的焦半距為c,則由題設,得, 解得,所以b2=a2-c2=4-3=1, 故橢圓C的方程為. (2)存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O. 理由如下: 設點A(x1,y1),B(x2,y2), 將直線l的方程代入, 並整理,得.(*) 則,. 因為以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O, 所以,即x1x2+y1y2=0, 又, 於是,解得, 經檢驗知:此時(*)式的>0,符合題意. 所以當時,以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題