如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的*影為A1，點B在直線l上的*影為B1，已知AB＝2...

問題詳情：

如圖，α⊥β，α∩β＝l，A∈α，B∈β，點A在直線l上的*影為A1，點B在直線l上的*影為B1，已知AB＝2，AA1=1，BB1＝，求：

（Ⅰ）直線AB分別與平面α，β所成的角的大小；

（Ⅱ）二面角A1－AB－B1的大小.

【回答】

解法一：（Ⅰ）如圖，連接A1B，AB1.

∵α⊥β，α∩β=l，AA1⊥l，BB1⊥l，  ∴AA1⊥β，BB1⊥α，

則∠BAB1，∠ABA1分別是AB與α和β所成的角.

Rt△BB1A中，BB1=，AB=2，∴sin∠BAB1=，

∴∠BAB1=45°.

Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2，

∴sin∠ABA1=，        ∴∠ABA1=30°.

故AB與平面α，β所成的角分別是45°，30°.

（Ⅱ）∵BB1⊥α，

∴平面ABB1⊥α，在平面α內過A1作A1E⊥AB1交AB1於E，則A1E⊥平面AB1B.過E作EF⊥AB交AB於F，連接A1F，則由三垂線定理得A1F⊥AB.

∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.

在Rt△ABB1中，∠BAB1=45°，∴AB1=B1B=.

∴Rt△AA1B1中，AA1=A1B1=1，∴A1E=AB1=.

在Rt△AA1B中，A1B=.

由  AA1・A1B=A1F・AB得

A1F=.

∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=，

∴二面角A1－AB－B1的大小為arcsin.

解法二：（Ⅰ）同解法一.

(Ⅱ)如圖，建立座標系，則A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（，1，0）.

在AB上取一點F（x，y，z），則存在t∈R，使得，

即（x，y，z－1）=t()，

∴點F的座標為(t，t，1－t).

要使 ，須=0，

即（，t，1－t）・（，1，－1）=0，2t+t－(1－t)=0，解得t=，

∴點F的座標為()，

∴= ().

設E為AB1的中點，則點E的座標為（0，）.

∴（）

又（）（）=

∴，     ∴∠A1FE為所求二面角的平面角.

又  cos∠A1FE=

∴二面角A1－AB－B1的大小為arccos.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：計算題