已知函數f(x)＝(ax－x2)ex.(1)當a＝2時，求f(x)的單調遞減區間；(2)若函數f(x)在(－1...

問題詳情：

已知函數f(x)＝(ax－x2)ex.

(1)當a＝2時，求f(x)的單調遞減區間；

(2)若函數f(x)在(－1,1]上單調遞增，求a的取值範圍；

(3)函數f(x)是否可為R上的單調函數？若是，求出a的取值範圍，若不是，説明理由．

【回答】

 解　(1)當a＝2時，f(x)＝(2x－x2)ex.

f′(x)＝(2－2x)ex＋(2x－x2)ex，

＝(2－x2)ex，

令f′(x)<0，即2－x2<0，解得x<－或x>，

所以函數f(x)的單調遞減區間為(－∞，－)和(，＋∞)．

(2)函數f(x)在(－1,1]上單調遞增，

所以f′(x)≥0，對於x∈(－1,1]都成立，

即f′(x)＝[a＋(a－2)x－x2]ex≥0，對於x∈(－1,1]都成立，

故有a≥＝x＋1－，

令g(x)＝x＋1－，則g′(x)＝1＋>0，

故g(x)在(－1,1]上單調遞增，g(x)max＝g(1)＝，

所以a的取值範圍是[，＋∞)．

(3)假設f(x)為R的上單調函數，則為R的上單調遞增函數或單調遞減函數．

①若函數f(x)為R上單調遞增函數，則f′(x)≥0，對於x∈R都成立，

即[a＋(a－2)x－x2]ex≥0恆成立．

由ex>0，x2－(a－2)x－a≤0對於x∈R都恆成立，

由h(x)＝x2－(a－2)x－a是開口向上的拋物線，

則h(x)≤0不可能恆成立，

所以f(x)不可能為R上的單調增函數．

②若函數f(x)為R上單調遞減函數，則f′(x)≤0，對於x∈R都成立，

即[a＋(a－2)x－x2]ex≤0恆成立，

由ex>0，x2－(a－2)x－a≥0對於x∈R都恆成立，

故由Δ＝(a－2)2＋4a≤0，整理得a2＋4≤0，顯然不成立，

所以，f(x)不能為R上的單調遞減函數．

綜上，可知函數f(x)不可能為R上的單調函數．

知識點：基本初等函數I

題型：解答題