問題詳情:
已知函數f(x)=x2-alnx(a∈R).
(1)若f(x)在x=2時取得極值,求a的值;
(2)求f(x)的單調區間;
(3)求*:當x>1時,x2+lnx<x3.
【回答】
解:(1)f′(x)=x-,因為x=2是一個極值點,
所以2-=0.所以a=4.
此時f′(x)=x-=
因為f(x)的定義域是{x|x>0},
所以當0<x<2時,f′(x)<0;當x>2時,f′(x)>0.
所以當a=4時,x=2是f(x)的極小值點.所以a=4.
(2)因為f′(x)=x-,
所以當a≤0時,f(x)的單調遞增區間為(0,+∞).
當a>0時,f′(x)=x-=
令f′(x)>0有x>,
所以函數f(x)的單調遞增區間為(,+∞);
令f′(x)<0有0<x<,
所以函數f(x)的單調遞減區間為(0,).
(3)*:設g(x)=x3-x2-lnx,
則g′(x)=2x2-x-,
因為當x>1時,g′(x)=>0,
所以g(x)在(1,+∞)上是增函數.
所以g(x)>g(1)=>0.
所以當x>1時,x2+lnx<x3.
知識點:基本初等函數I
題型:解答題