已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函數f(x)的單調區間；(2)當a>0時，求函數f(x...

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問題詳情：

已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當a>0時，求函數f(x)在[1,2]上的最小值．

【回答】

.解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，

①當a≤0時，f′(x)＝－a>0，即函數f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)．[2分]

②當a>0時，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，

當0<x<時，f′(x)＝>0；

當x>時，f′(x)＝<0，

故函數f(x)的單調遞增區間為，

單調遞減區間為.[4分]

綜上可知，當a≤0時，函數f(x)的單調遞增區間為(0，＋∞)；

當a>0時，函數f(x)的單調遞增區間為，單調遞減區間為.[5分]

(2)①當≤1，即a≥1時，函數f(x)在區間[1,2]上是減函數，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[6分]

②當≥2，即0<a≤時，函數f(x)在區間[1,2]上是增函數，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.[7分]

③當1<<2，即<a<1時，函數f(x)在上是增函數，在上是減函數．又f(2)－f(1)＝ln2－a，

所以當<a<ln2時，最小值是f(1)＝－a；

當ln2≤a<1時，最小值為f(2)＝ln2－2a.[11分]

綜上可知，當0<a<ln2時，函數f(x)的最小值是f(1)＝－a；

當a≥ln2時，函數f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.[12分]

知識點：導數及其應用

題型：解答題

Tags：lnx FX 求函數 axa

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