已知F（x）=dt，（x＞0）．（1）求F（x）的單調區間；（2）求函數F（x）在[1，3]上的最值．

問題詳情：

已知F（x）=dt，（x＞0）．

（1）求F（x）的單調區間；

（2）求函數F（x）在[1，3]上的最值．

【回答】

【考點】68：微積分基本定理；6E：利用導數求閉區間上函數的最值．

【分析】（1）由定積分計算公式，結合微積分基本定理算出．再利用導數，研究F'（x）的正負，即可得到函數F（x）的單調增區間是（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）．

（2）根據F（x）的單調*，分別求出F（1）、F（2）、F（3）的值並比較大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．

【解答】解：依題意得，，

定義域是（0，+∞）．

（1）F'（x）=x2+2x﹣8，

令F'（x）＞0，得x＞2或x＜﹣4； 令F'（x）＜0，得﹣4＜x＜2，

且函數定義域是（0，+∞），

∴函數F（x）的單調增區間是（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）．

（2）令F'（x）=0，得x=2（x=﹣4舍），

由於函數在區間（0，2）上為減函數，區間（2，3）上為增函數，

且，，F（3）=﹣6，

∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=﹣6，最小值是．

知識點：導數及其應用

題型：解答題