已知函數f（x）＝ex﹣有兩個極值點．（1）求實數a的取值範圍；（2）若函數f（x）的兩個極值點分別為x1，x...

問題詳情：

已知函數f（x）＝ex﹣有兩個極值點．

（1）求實數a的取值範圍；

（2）若函數f（x）的兩個極值點分別為x1，x2，求*：x1+x2＞2．

【回答】

【詳解】（1）解：f′（x）＝ex﹣ax．

∵函數f（x）＝ex有兩個極值點．

∴f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個實數根．

x＝0時不滿足上述方程，

方程化為：a，

令g（x），（x≠0）．

g′（x），

可得：x＜0時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；0＜x＜1時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減；x＞1時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增．

a＞e時，方程f′（x）＝ex﹣ax＝0有兩個實數根．

∴實數a的取值範圍是（e，+∞）．

（2）*：由（1）可知：a＞e時，函數f（x）有兩個極值點分別為x1，x2，不妨設x1＜x2．

*：+＞2⇔＞2﹣＞1⇔，

由，因此即*：．

構造函數h（x），0＜x＜1，2﹣x＞1．

h′（x）（x﹣1），

令函數u（x），（0＜x）．

u′（x）．

可得函數u（x）在（0，1）內單調遞減，於是函數v（x）在（0，1）內單調遞減．

v（x）≥v（1）＝0．

∴x＝1時，函數h（x）取得極小值即最小值，h（1）＝0．

∴h（x）＞h（1）＝0．

∴．

因此+＞2成立．

【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調*極值與最值、方程與不等式的解法、等價轉化方法，考查了推理能力與計算能力，屬於難題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題